2016年全国高中数学竞赛试题及答案
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1、2011年全国高中数学联赛江西省预赛试 题 一、填空题(每小题10分,共 分)、 是这样的一个四位数,它的各位数字之和为 ;像这样各位数字之和为 的四位数总共有 个.、设数列 满足: ,且对于其中任三个连续项 ,都有: .则通项 .、以抛物线 上的一点 为直角顶点。
2、作抛物线的两个内接直角三角形 与 ,则线段 与 的交点 的坐标为 .、设 ,则函数 的最大值是 .、 .、正三棱锥 的底面边长为 。
3、侧棱长为 ,过点 作与侧棱 都相交的截面 ,那么。
4、 周长的最小值是 .、满足 的一组正整数 .、用 表示正整数 的各位数字之和,则 .二、解答题(共 题,合计 分)、(20分)、设 。
5、且满足: ,求 的值. 、( 分)如图, 的内心为 。
6、 分别是 的中点, ,内切圆 分别与边 相切于 ;证明: 三线共点. 、( 分)在电脑屏幕上给出一个正 边形。
7、它的顶点分别被涂成黑、白两色;某程序执行这样的操作:每次可选中多边形连续的 个顶点(其中 是小于 的一个固定的正整数),一按鼠标键,将会使这 个顶点“黑白颠倒”。
8、即黑点变白,而白点变黑;、证明:如果 为奇数,则可以经过有限次这样的操作。
9、使得所有顶点都变成白色,也可以经过有限次这样的操作,使得所有顶点都变成黑色;、当 为偶数时。
10、是否也能经过有限次这样的操作,使得所有的顶点都变成一色?证明你的结论. 解 答 、 .提示:这种四位数 的个数,就是不定方程 满足条件 。
11、 的整解的个数;即 的非负整解个数,其中 ,易知这种解有 个。
12、即总共有 个这样的四位数.(注:也可直接列举.)、 . 提示:由条件得,,所以。
13、故 ,而 ;;于是;由此得. 、 .提示:设 ,则。
14、直线 方程为,即 ,因为 。
15、则,即,代人方程得。
16、于是点 在直线 上;同理,若设 ,则 方程为。
17、即点 也在直线 上,因此交点 的坐标为 .、 .提示:由所以, 。
18、即,当 ,即 时取得等号.、 .提示: .、 .提示:作三棱锥侧面展开图。
19、易知 ∥ ,且由周长最小,得 共线。
20、于是等腰 , ,。
21、即 , ,。
22、所以 ,由 ,则.、 .提示:由于 是 形状的数。
23、所以 必为奇数,而 为偶数, 设 。
24、 ,代人得,即. ①而 为偶数。
25、则 为奇数,设 ,则。
26、由①得,, ②则 为奇数。
27、且 中恰有一个是 的倍数,当 ,为使 为奇数。
28、且 ,只有 ,②成为。
29、即 ,于是 ;若 ,为使 为奇数。
30、且 ,只有 ,②成为 。
31、即 ,它无整解;于是 是唯一解: .(另外,也可由 为偶数出发。
32、使为 的倍数,那么 是 的倍数,故 是 形状的偶数。
33、依次取 ,检验相应的六个数即可.) 、 .提示:添加自然数 ,这样并不改变问题性质;先考虑由 到 这一千个数。
34、将它们全部用三位数表示,得到集 ,易知对于每个 。
35、首位为 的“三位数”恰有 个: ,这样,所有三位数的首位数字和为.再将 中的每个数 的前两位数字互换。
36、成为 ,得到的一千个数的集合仍是 ,又将 中的每个数 的首末两位数字互换。
37、成为 ,得到的一千个数的集合也是 ,由此知.今考虑四位数:在 中。
38、首位(千位)上,共有一千个 ,而在中。
39、首位(千位)上,共有一千个 ,因此;其次。
40、易算出, . 所以,.、由。
41、即,平方得 所以,即。
42、所以.、如图,设 交于点 ,连 。
43、由于中位线 ∥ ,以及 平分 ,则 。
44、所以 ,因 ,得 共圆.所以 ;又注意 是 的内心。
45、则.连 ,在 中,由于切线 。
46、所以,因此 三点共线,即有 三线共点.、 证明:由于 为质数。
47、而 ,则 ,据裴蜀定理。
48、存在正整数 ,使, ①于是当 为奇数时,则①中的 一奇一偶.如果 为偶数。
49、 为奇数,则将①改写成:,令 。
50、上式成为 ,其中 为奇数, 为偶数.总之存在奇数 和偶数 。
51、使①式成立;据①,, ②现进行这样的操作:选取一个点 ,自 开始。
52、按顺时针方向操作 个顶点,再顺时针方向操作接下来的 个顶点……当这样的操作进行 次后,据②知。
53、点 的颜色被改变了奇数次( 次),从而改变了颜色,而其余所有顶点都改变了偶数次( 次)状态。
54、其颜色不变;称这样的 次操作为“一轮操作”,由于每一轮操作恰好只改变一个点的颜色,因此。
55、可以经过有限多轮这样的操作,使所有黑点都变成白点,从而多边形所有顶点都成为白色;也可以经过有限多轮这样的操作。
56、使所有白点都变成黑点,从而多边形所有顶点都成为黑色.、当 为偶数时,也可以经过有限多次这样的操作。
57、使得多边形所有顶点都变成一色.具体说来,我们将有如下结论:如果给定的正多边形开初有奇数个黑点、偶数个白点,则经过有限次操作。
58、可以将多边形所有顶点变成全黑,而不能变成全白;反之,如果给定的正多边形开初有奇数个白点、偶数个黑点。
59、则经过有限次操作,可以将多边形所有顶点变成全白,而不能变成全黑;为此。
60、采用赋值法:将白点改记为“ ”,而黑点记为“ ”,改变一次颜色。
61、相当于将其赋值乘以 ,而改变 个点的颜色,即相当于乘了 个(偶数个) 。
62、由于 ;因此当多边形所有顶点赋值之积为 ,即总共有奇数个黑点,偶数个白点时。
63、每次操作后,其赋值之积仍为 ,因此无论操作多少次。
64、都不能将全部顶点变白.但此时可以变成全黑,这是由于,对于偶数 。
65、则①②中的 为奇数,设 是多边形的两个相邻顶点,自点 开始。
66、按顺时针方向操作 个顶点,再顺时针方向操作接下来的 个顶点……当这样的操作进行 次后,据②知。
67、点 的颜色被改变了偶数次( 次),从而颜色不变,而其余所有 个顶点都改变了奇数次( 次)状态。
68、即都改变了颜色;再自点 开始,按同样的方法操作 次后,点 的颜色不变。
69、其余所有 个顶点都改变了颜色;于是,经过上述 次操作后,多边形恰有 两个相邻顶点都改变了颜色。
70、其余所有 个点的颜色不变.现将这样的 次操作合并,称为“一轮操作”;每一轮操作,可以使黑白相邻的两点颜色互换。
71、因此经过有限轮操作,总可使同色的点成为多边形的连续顶点;于是当多边形开初总共有偶数个白点时,每一轮操作又可将相邻两个白点变成黑点。
72、使得有限轮操作后,多边形所有顶点都成为黑色.同理得,如果给定的正多边形开初总共有奇数个白点、偶数个黑点。
73、经过有限次操作,可以使多边形顶点变成全白,而不能变成全黑;(只需将黑点赋值为“ ”。
74、白点赋值为“ ”,证法便完全相同).。
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